Если я правильно понимаю, вам лечащий врач должен или направление дать или написать бумагу, в которой описано заболевание и необходимое расширеное лечение в других клиниках, желательно с перечислением каких. После этого вы едете в Областное министерство здравоохранения и берете у них направление.
Можно пойти другим путем поехать самим в Моники, проконсультироваться с врачом, и попросить у него бумагу, где написано что вы нуждаетесь в определенном лечении и клиника готова вас лечить. После этого опять же едете в Министерство здравооохранения для получения бесплатной квоты.
А почему ЛЦГБ не дает направлений? Чем они это мотивируют? Пусть напишут письменный отказ в направлении с указанием причины. На словах у них все просто, а на бумагах они обязаны с вами "контактировать".
Как вариант попробуйте пробиться в администрацию на консультацию к главе города или человеку, отвечающему за медицину. А лучше письменно обратитесь, они будут вынуждены на письменный запрос в течении месяца дать вам развернутый ответ и прокомментировать данную ситуацию.
Удачи вам!